Figure 1. 
Il existe beaucoup d'articles sur l'internet qui démontrent que l'induction magnétique est mal comprise par certaines personnes. Beaucoup de sites que j'ai visités présentent le phénomène de l'induction d'une façon tellement compliquée (ou n'expliquent rien) que même les auteurs se perdent dans leur propres conclusions (voir par exemple: Müller {copie locale}). Malheureusement, certaines expériences sont interprétées ou faites incorrectement et il est facile de trouver une multitudes de résultats contradictoires.
Pourtant, l'induction est facile à
comprendre.
Après
quelques explications, je commente les résultats de deux
sites
web.
La force sur une charge est égale à:
où q est la charge (négative pour un électron), E est le champ électrique, v est la vitesse de la charge, B est le champ magnétique. Les vecteurs sont indiqués par des caractères gras. Le produit 'x' est le produit vectoriel.
Il est important que les quatre quantitées F, E, v et B soient mesurées dans un système "inertiel Galiléen" où la source du champ magnétique (dipole, aimant, solénoïde, etc.) est au repos. Un système est "inertiel Galiléen" si absolument aucune force fictive n'est présente (comme la force centrifuge, la force de Coriolis, tangentielle, etc.). Trois axes orthogonaux sont alors établis et servent de référence pour les vecteurs à mesurer.
(On peut aussi faire le calcul où on se
déplace
avec l'électron, mais la méthode est
complètement
différente et plus difficile - voir Appendice
I.)
En additionnant tous les potentiels le long du fil, on obtient le potentiel total. La composante de cette force dans la direction du fil pousse les électrons jusqu'à ce qu'un champ électrique opposé se crée dans le conducteur. Si le conducteur forme une boucle et que la composante totale force totale autour de la boucle est non nulle, un courant circule dans la boucle.
Si les charges dans un fil effectuent des mouvement qui ne
sont
pas inertiels, le problème peut être résolu en
utilisant
la vitesse instantanée de chaque charge. Cependant,
si la
source du champ magnétique effectue des mouvement qui
empêchent
de la mettre au repos dans un système inertiel
Galiléen,
le problème ne peut pas être simplifié en
utilisant
la vitesse instantanée de la source. Le
problème
est
beaucoup plus difficile à résoudre, mais il existe
des
simplifications
possibles dans beaucoup de cas.
Figure 1.
Puisqu'il n'y a pas de champ électrique (l'aimant est neutre), la force est qv x B. Du coté droit de la bobine sur la figure, la force est dans la direction qui entre dans la page. C'est justement la direction du fil, et à cause de la symétrie axiale de l'expérience, la force électromotrice s'additionne le long du fil et un courant se met à circuler dans la bobine. Il faut remarquer que cette expérience peut être aussi expliquée par un changement de flux (nombre de lignes magnétiques) passant dans la bobine. L'équation d'induction de Faraday, qui donne la force électromotrice comme étant proportionnelle au changement de flux dans la boucle, s'applique ici.
L'équation d'induction de Faraday est
dérivée
mathématiquement en intégrant l'équation de
Maxwell
Pour déterminer la vitesse des électrons du conducteur, il faut trouver la vitesse des électrons dans un système où l'aimant est au repos. Un tel système est facile à trouver si on se déplace avec l'aimant.
Dans le système de l'aimant, le problème est
donc
de trouver les forces sur les électrons se
déplaçant
vers la gauche avec le fil. La force sur les électrons dans
la
section
BC, au dessus de l'aimant, est vers B. La force dans la
section
AD
est plus faible, vers D puisque le champ magnétique est
vers le
bas. Elle s'ajoute à celle de BC. Il y a donc
une
induction
nette dans cette boucle. L'induction est renversée
quand
l'aimant
passe sous le segment AD.
Figure 3. 
Ici, les rotations sont transformées en vitesse
instantanée
comme indiqué dans la partie de droite de la figure.
Les
lignes
de champ induisent une force dans le fil, mais si le calcul des
forces
est fait pour tous les segments du fil (montré par la
grosseur
des
flèches), le résultat est nul. Sans faire le
calcul
exact, on peut voir que les lignes de champ magnétique "coupent"
le
fil
"deux fois", une fois dans un sens, l'autre dans l'autre
sens, pour annuler la force électromotrice. En fait,
il
n'est
même pas nécessaire qu'un segment de la boucle soit
le
long
de l'axe magnétique, le résultat est toujours nul si
la
boucle
tourne autour de l'axe magnétique. Le calcul exact
donne
une
induction nulle (voir le petit programme en Appendice
II pour un calcul numérique et une
référence
à
un calcul analytique).
Figure 4. 
Les électrons dans le disque de cuivre sont entrainés à travers les lignes de champ (en utilisant ici aussi une vitesse instantanée) résultant en une force électromotrice. Le reste du circuit est immobile et ne contribue pas à la force électromotrice. Puisque les lignes de champ coupent une fois le conducteur, on obtient une force électromotrice nette.
Un effet semblable est retrouvé dans l'effet Hall: un courant déplace des électrons dans un conducteur placé dans un champ magnétique et une force électromotrice apparaît dans une direction perpendiculaire au courant et au champ magnétique.
Ici, il n'y a pas de changement de flux dans la boucle,
mais
une force électromotrice est induite! L'équation
d'induction de Faraday n'est pas valide ici parceque le
conducteur
a une vitesse sans changer la forme de la boucle!
L'équation
d'induction de Faraday ne s'applique pas dans tous les cas et il
faut
toujours
revenir au mécanisme fondamental.
Le théorème de Stokes utilisé pour
calculer
l'induction est un théorème
mathématique. Il
n'y a pas de restrictions (excepté que je crois qu'il
faut que
la
fonction du champ soit continue). Le
théorème de
Stokes
est utilisé pour faire le calcul mentionné en bas
de l'exemple
1 et obtenir l'équation d'induction. Pour
savoir la
force
électrique totale le long d'une boucle (fixe)
fermée dans
un champ magnétique variable, on intègre
l'équation
de Maxwell
Dans ce cas ci, il n'y a aucune vitesse du conducteur de droite dans le champ magnétique (variable) produit par la bobine de gauche, donc v = 0. Mais pour produire une variation de courant dans la bobine de gauche (une variation de la vitesse des électrons), un champ électrique doit exister dans la direction du fil de la bobine (lignes oranges sur la figure 5). Ce champ électrique produit une force sur les électrons de l'autre bobine égale à F = qE. Le transformateur est habituellement expliqué par un changement du flux magnétique dans le secondaire, l'équation d'induction de Faraday est valide pour ce cas ci. C'est aussi une façon plus simple de penser au problème, mais fondamentalement c'est un champ électrique qui produit la force électromotrice dans le secondaire.
Comment un matériau ferromagnétique
placé
entre les deux bobines peut aider à augmenter le couplage
des
deux
bobines du transformateur? C'est simplement que le champ
électrique
est couplé par les électrons
accélérés
dans le matériau ferromagnétique.
Ce qui se passe ici, c'est que les lignes du champ magnétique ne tournent pas avec l'aimant! Il n'y a donc pas d'induction dans n'importe lequel des segments de la boucle. (Un raisonnement faux serait de dire que les lignes de champ croisent le fil conducteur deux fois et que la force électromotrice s'annule, comme dans l'exemple 3. La conclusion est correcte, mais la raison donnée n'est pas bonne pour expliquer l'absence d'induction dans la boucle.)
Le fait que les lignes de champ magnétique ne
tournent
pas avec un aimant tournant autour de son axe magnétique
peut
être
expliqué comme ceci. Puisque tous les champs
magnétiques
sont générés par des charges en mouvement,
imaginons
qu'on peut voir dans un aimant fixe les électrons se
promener en
cercle avec une rotation positive, comme sur un manège (figure
14, à gauche). Les électrons (en bleu)
sont
attachés
sur le manège du bas qui tourne et produisent un champ
magnétique
(rose). Les ions positifs (en rouge) sont fixés en
haut
avec
l'aimant et annulent le champ électrique des
électrons.
Une charge test (un électron) est placé, immobile,
juste
à droite de l'aimant. Il est effectivement dans un
champ
magnétique,
mais puisque qu'il ne bouge pas
Si on fait tourner l'aimant dans la direction opposée au sens de rotation des électrons (flèche bleue, figure 14 droite), on peut arrêter les électrons et avoir des ions positifs tournant avec une rotation négative. Le champ magnétique généré par les ions est le même que celui généré par les électrons de l'aimant de gauche (même courant). Le champ électrique est encore nul, et pour les mêmes raisons que plus tôt, la charge test n'est pas affectée par le champ magnétique. Le même raisonnement s'appplique pour n'importe laquelle vitesse de rotation de l'aimant sur son axe. Les lignes de champ ne bougent donc pas avec un aimant tournant.
Je n'ai pas trouvé de démonstration expérimentale de ce phénomène. La difficultée de cette expérience est que si une boucle est utilisée, il n'y a pas moyen de distinguer entre deux possibilitées:
http://mywebpages.comcast.net/Deneb/muller.htm
Müller à beaucoup d'erreurs sur son site. Entre autre, il écrit: "Perhaps the reader is wondering if I made all the experiments described in Part I. How can one measure a voltage in an isolated piece of wire? In principle this is possible, by inserting electrometers at the midpoint of the wire." Cette phrase est incorrecte! Si un électromètre est inséré au milieu d'un fil coupé en deux, il n'y aura pas de voltage mesurable pour n'importe laquelle des expériences qu'il suggère! La raison est qu'un électromètre ne peut pas mesurer un potentiel entre deux points séparés, à moins qu'il soit connecté à ces points séparés. Mais les fils qui vont aux points séparés sont aussi dans le champ magnétique. Le potentiel mesuré est alors entre deux points qui ne sont pas séparés par une distance raisonnable. Le potentiel étant proportionnel à la distance, aucun potentiel n'apparaîterait sur l'électromètre. (La seule façon de mesurer un potentiel sur deux bouts de fil est de varier le champ électro-magnétique rapidement pour que le temps de propagation d'un bout à l'autre du fil soit comparable ou plus long que la période du champ électromagnétique: on a alors une antenne de longueur comparable à la longueur d'onde de l'onde électro-magnétique, mais ça c'est un autre problème.)
La seule façon de mesurer quelque chose dans les expériences suggérées par Müller est d'avoir une boucle fermée.
J'ai construit les montages suivants
suggérés
par
Müller pour vérifier certains de ses résultats.
Théorie: Le cas où l'aimant se déplace sans
déplacement
du blindage est laissé comme exercice (voir plus
bas pour quelques indices). Pour faciliter la
compréhension
du problème quand l'aimant et le blindage bougent
ensemble,
l'aimant et les morceaux de fer sont coupés en deux le long
des
lignes magnétiques (voir figure 12b).
Ca
ne
change
rien
à
l'induction dans la boucle RCEOR puisque les
lignes de champ magnétique où se trouve le fil de la
boucle
ne sont pas affectées.
Il est alors facile de voir qu'un champ électrique est induit si le fil OR coupe des lignes de champ. Les lignes de champ sont coupées en bougeant soit OR le long de l'aimant (comme dans l'exemple 1), soit l'aimant et le blindage autour de OR (comme dans l'exemple 2). La table II de Müller est reproduite ici (avec des colonnes et rangées ajoutées en rose, et les cas présentés dans un ordre plus naturel) avec une colonne supplémentaire "Blindage" pour décrire le mouvement du blindage. Dans le cas des expériences de Müller, il semble que le blindage reste fixe dans tous les cas.
Cette explication donne les prédictions suivantes
(dernière
colonne de la
La description de Müller pour les cas #4, #6, #7 et
#8
ne
m'est pas très claire. Si les aimants M et M' bougent
par
rapport au blindage, alors les aimants en demi-cercle doivent
aussi
bouger
un peu. Est-ce que les aimants opposés à M et
M'
(en
arrière sur la figure) bougent aussi en sens inverse?
Puisque
les résultats de la table II de Müller sont comme ceux
de
sa
table I, il semble bien qu'il déplace ses aimants comme il
le
dessine
sur sa figure 6.
Théorie: Ici aussi j'ajoute une colonne à la table I de Müller (les cas sont présentés dans un ordre plus naturel). L'explication des expériences de Müller se trouve en remarquant que faire tourner uniquement l'aimant CM ne change rien (example 6). Les résultats de la théorie pour 1 et 4 sont donc les mêmes (table I), de même que pour les paires 6 - 2, 7 - 3 et 8 - 5. Puisque ECR est en dehors du champ magnétique, la rotation de ECR ne change rien non plus: la théorie donne la même chose pour les paires 1 - 3, 2 - 5, 4 - 7 et 6 - 8. En combinant les paires semblables, on obtient que 1-3-4-7 devraient théoriquement donner les mêmes résultats, et 2-5-6-8 aussi devraient théoriquement donner les mêmes résultats.
Dans le cas #1, rien ne bouge et il n'y a pas d'induction. Donc pas d'induction non plus pour les cas #3, #4 et #7.
Dans le cas #2, OR bouge dans le champ. Il est facile de voir qu'en tournant OR, le fil OR coupe des lignes de champ (comme dans l'exemple 2 plus haut) et une force électromotrice est induite. Même conclusion pour les cas #5, #6 et #8. La table I de Müller s'explique donc facilement.
Pour ce qui est de l'expérience que j'ai faite qui consiste en tourner simultanément l'aimant CM et le blindage PP' (que je vais appeler CMPP'), la symmétrie de l'exemple 6 n'existe pas dans ce problème. Pour simplifier le problème, l'aimant et le blindage CMPP' sont coupés en deux le long des lignes magnétiques (voir figure 10b). Si CMPP' tournent ensemble, le fait d'avoir coupé en deux le montage ne change rien à l'induction dans la boucle RCEOR puisque les lignes de champ magnétique où se trouve le fil de la boucle ne sont pas affectées.
Pour essayer de trouver une solution à ce problème, je propose de séparer la rotation et la translation de CMPP': une rotation autour de "l'axe magnétique" ne fait pas tourner les lignes de champ (example 6), la translation les déplace (example 2). Dans le cas de l'aimant de la figure 13, "l'axe magnétique" était facile à trouver. On voit que si on fait tourner l'aimant autour de l'axe magnétique, il n'y a pas d'induction dans la boucle de fil. On voit aussi que si on fait tourner la boucle autour de l'axe magnétique (comme dans l'exemple 3), il n'y a pas d'induction dans la boucle. Pour le problème de la figure 10, je trouve l'axe autour duquel on peut faire tourner la boucle sans qu'il n'y ait d'induction. Cet axe est indiqué en rouge sur la figure 10: il passe par le milieu de la section de fil qui est dans les lignes de champ. En faisant la correspondance inverse, on peut dire que si on tourne CMPP' autour de l'axe rouge (axe magnétique), il n'y aura pas d'induction dans la boucle.Cette explication donne les prédictions suivantes (dernière colonne de la table I):
Dans leCAS # 9 , il y a une rotation de CMPP' autour de l'axe EO. Je décompose ce mouvement en une rotation de CMPP' autour de l'axe rouge (exemple 6, pas d'induction) et une translation vers la gauche (exemple 2, induction dans la boucle). La théorie prédit qu'il devrait y avoir une induction, et je la mesure.
Dans leCAS # 10 , il y a une rotation de CMPP' et de la boucle autour de l'axe EO. Je décompose le mouvement de rotation de l'aimant comme pour le cas précédent. Pour le fil, la même décomposition des mouvements s'applique: autour de l'axe rouge (pas d'induction, l'axe à été choisi pour qu'il n'y en ait pas) et une translation vers la gauche. L'aimant et le fil ont une composante de mouvement vers la gauche, et dans le système où l'aimant est immobile, le fil est aussi immobile et il n'y a pas d' induction. Ce résultat est en accord avec l'absence d'induction que je mesure.
Explication: mes résultats expérimentaux
sont
en
accord avec les résultats de Müller, et tout est
en
accord
avec la théorie.
À remarquer ici que le cas #8 n'est pas réciproque
au
cas #1 (contrairement à ce que dit Müller).
C'est le
cas #10 qui est réciproque au cas #1, et les deux donnent
le
même
résultat: pas d'induction. De même, le cas #3
n'est
pas réciproque au cas #6. L'erreur sérieuse de
Müller
est d'avoir oublié une partie du système: il n'a pas
de
colonne
pour le blindage! Pourtant, le blindage est aussi important
que
l'aimant.
Il est facile de trouver ce qui se passerait pour les six
autres
cas puisque l'induction ne dépend pas de la rotation de ECR
ni
de
la rotation de l'aimant CM.
(Et tout ça sans parler de galaxies!)
http://www.iei.ie/papers/faraday/faraday1.html (disparu)
La description de toutes ses expériences est trop longue pour être décrite ici. Je vous invite à aller lire sa page web. Il a fait l'expérience que je décrit ci-dessus avec une boucle de fil, mais aussi d'autres expériences avec des aimants tournant autour de leur axe magnétique. Ses résultats expérimentaux sont qualitativement correct, mais assez imprécis. La conclusion finale de son article, que les lignes de champ magnétique tournent avec un aimant autour de l'axe magnétique, ne considère pas l'impossibilité de distinguer entre cette hypothèse et celle où les lignes de champ ne bougent pas, quand une boucle de fil est utilisée pour faire les mesures (comme discuté plus haut). Les commentaires de l'ingénieur K.C. Rajaraman (copie locale) sont particulièrement instructifs.
Sa table des résultats est copiée ici avec
l'explication
de chaque résultat.
| Arrangement |
Reading |
(par A.G. Kelly) |
|
| Circuit external to Magnet | |||
| (a) Whole circuit spin |
|
Lines cut circuit twice | Fil coupe les lignes 2x |
| (b) Magnet only spin |
|
Lines cut circuit twice | Lignes ne tournent pas |
| (c) Magnet & circuit spin |
|
No relative motion | Fil coupe les lignes 2x |
| Faraday Generator |
|
|
|
| (d) Magnet spin |
|
Lines cut leads once | Aimant coupe lignes 1x |
| (e) Circuit spin |
|
Lines cut leads once | Fil coupe les lignes 1x |
| (f) Magnet & circuit spin |
|
No relative motion | Aimant, fil coupent 2x |
| Disc Tests |
|
|
|
| (g) Disc only spin |
|
Some lines cut disc once | Disque coupe lignes 1x |
| (h) Disc & Magnet spin |
|
Lines cut leads once | Disque coupe lignes 1x |
| (j) Magnet only spin |
|
Lines cut circuit twice | Lignes ne tournent pas |
| (k) Disc & Circuit spin |
|
Lines cut circuit twice | Disque et fil coupent 2x |
| (1) Magnet, Disc, Leads spin |
|
No relative motion | Disque et fil coupent 2x |
| (m) Magnet & Circuit spin |
|
Lines cut disc only | Fil coupe les lignes 1x |
| (n) Circuit only spin |
|
Circuit cuts lines once | Fil coupe les lignes 1x |
Certaines de ces expériences sont équivalentes
entre
elles
du point de vue théorique:
On peut aussi voir que la force électromotrice en (h) doit
être
égale à celle de (m), mais de signe opposée
puisque
(l) donne zéro. De même, la force
électromotrice
en (g) doit être égale à celle de (n), mais de
signe
opposée puisque (k) donne zéro.
J'ai attaché des aimants sur une tige et les ai
fait
tourner
autour de l'axe magnétique (comme dans le cas (b) de
Kelly).
La bobine était placée tel que montré sur la
Pour trouver comment le champ B se transforme en champ E dans le cas général, il faut des calculs utilisant la relativité (voir le livre de la série Berkeley Electricity and Magnetism pour des exemples simples). Il est possible que certaines expériences simples, comme celle des gouttes d'huile chargées près d'un aimant tournant, puissent être utilisées pour vérifier l'exactitude de la théorie. Müller prétend que la théorie est incorrecte, mais après avoir vu les erreurs qu'il fait, on ne peut pas croire ses conclusions. Entre autre, il croit que son cas #1 (table I) est équivalent au cas #8; c'est faux, il ne considère pas tout le système et il ne sait pas que les lignes magnétiques ne tournent pas avec un aimant qui tourne!
Contrairement à Müller, je conclut que WE
DON'T
NEED
YET A NEW PHYSICS TO EXPLAIN MAGNETIC INDUCTION!
Si on se met dans le système K' en mouvement avec
l'électron,
on voit aussi l'électron accélérer comme s'il
était
poussé par une force F'. Mais la seule
force
qui
peut agir sur un électron au repos
Le champ magnétique B dans le système K est donc transformé partiellement en champ électrique E' dans le système K'. Connaissant les champs E et B dans un système inertiel donné K, les champs magnétiques E' et B' dans un système inertiel K' se déplaçant avec une vitesse v par rapport à K sont (Jackson, p.552):
E' = g
B' = g
où g est le facteur gamma habituel en
relativité
restreinte. Dans l'exemple donné ici,
Les champs électrique et magnétique sont une
manifestation
de la même chose vu dans des conditions différentes
de
mouvement.
Les champs magnétiques sont produits par des charges
électriques
en mouvement. Cependant, on ne peut pas dire l'inverse, que
les
champs
électriques sont produits par des charges
magnétiques en
mouvement, parcequ'il n'existe pas de monopole
magnétique.
Cette asymmétrie à comme conséquence que le
champ
électrique est fondamental, et le champ magnétique
n'est
qu'un effet relativiste produit par des charges en
mouvement.
D'ailleurs
on voit que dans les équations de Maxwell, il y une
'source' de
champ électrique, mais aucune 'source' de champ
magnétique.
La force produite par un champ magnétique est une
façon
indirecte
de décrire la force électrique, de même que la
force
de Coriolis est une façon indirecte de décrire le
mouvement
tel que vu dans un système en rotation. D'ailleurs,
la
direction
de la force magnétique est perpendiculaire à v
et
à
B, comme dans le cas de la force de Coriolis qui est aussi
perpendiculaire à v et à oméga
(direction
de la rotation). Dans les deux cas, c'une force fictive qui
apparaît
à cause du choix d'un autre système de
référence.
#include "stdio.h"
#include "math.h"
#define pi 3.1415926535898
#define delta 0.00001
#define BOUCLE_bas -0.5
#define BOUCLE_droite 1.0
#define BOUCLE_haut 0.5
#define BOUCLE_gauche 0.0
// Champ produit par un aimant en anneau de rayon 'rayon'
localisé
// dans le plan z à la position z==a_z
// vitesse de rotation de la charge est omega==1 partout
void charge_tournante(double rayon, double a_z, double
delta_phi,
double q_x, double
q_z,
// position de la charge
double *f_x, double
*f_y, double *f_z)
{
double phi; // angle sur l'anneau de l'aimant
double a_x, a_y; // et a_z: position de
l'élément
d'aimant
double v_y; // vitesse de la charge
double l, l3, cos_Theta, sin_Theta;
double s, c, z, z2;
double Bx, Bz; // champ magnétique
*f_x=0; *f_y=0; *f_z=0;
z=q_z-a_z;
z2=z*z;
for (phi=0; phi<2*pi; phi+=delta_phi)
{
s=sin(phi); c=cos(phi);
a_x=rayon*c; a_y=rayon*s;
v_y=q_x;
l3=(q_x-a_x)*(q_x-a_x)+a_y*a_y+z2;
l=sqrt(l3); // l== distance entre
l'élément
d'aimant et la charge
l3*=l; // l3==l*l*l
// champ autour d'un dipole:
// référence
http://www.netdenizen.com/emagnet/offaxis/mmoffaxis.htm
cos_Theta=z/l;
sin_Theta=(q_x-a_x)/l;
Bx=3*cos_Theta*sin_Theta/l3;
Bz=(3*cos_Theta*cos_Theta-1)/l3;
*f_x+=v_y*Bz; // force en x
*f_z+=-v_y*Bx; // force en y
}
*f_x*=delta_phi;
*f_z*=delta_phi;
return;
}
main()
{
double f_x, f_y, f_z, U_l;
double r, a_z, delta_phi, Qx, Qz;
double delta_d;
delta_phi=0.003;
r=1.176; // rayon de l'anneau
a_z=-1.0; // position z de l'anneau
delta_d=.003;
printf("Aimant à z==%lf, r==%lf\n", a_z, r);
printf("
haut:
%lf\n",
BOUCLE_haut);
printf("gauche:
%lf
droite: %lf\n", BOUCLE_gauche, BOUCLE_droite);
printf("
bas:
%lf\n",
BOUCLE_bas);
U_l=0; // potentiel le long du fil
Qz=BOUCLE_bas;
// horizontal, bas
for (Qx=BOUCLE_gauche; Qx<BOUCLE_droite; Qx+=delta_d)
{
charge_tournante(r, a_z, delta_phi, Qx, Qz, &f_x,
&f_y,
&f_z);
U_l+=f_x;
}
Qx=BOUCLE_droite;
// vertical, droite
for (Qz=BOUCLE_bas; Qz<BOUCLE_haut; Qz+=delta_d)
{
charge_tournante(r, a_z, delta_phi, Qx, Qz, &f_x,
&f_y,
&f_z);
U_l+=f_z;
}
Qz=BOUCLE_haut;
// horizontal, haut
for (Qx=BOUCLE_droite; Qx>BOUCLE_gauche; Qx-=delta_d)
{
charge_tournante(r, a_z, delta_phi, Qx, Qz, &f_x,
&f_y,
&f_z);
U_l-=f_x;
}
Qx=BOUCLE_gauche;
// vertical, gauche
for (Qz=BOUCLE_haut; Qz>BOUCLE_bas; Qz-=delta_d)
{
charge_tournante(r, a_z, delta_phi, Qx, Qz, &f_x,
&f_y,
&f_z);
U_l-=f_z;
}
U_l*=delta_d;
printf("Potentiel total:\n U_l=%lf\n", U_l);
return;
}
Les résultats suivants sont obtenus pour
différentes
boucles
et positions de l'aimant:
Aimant à z==-1.000000, r==1.176000
haut:
0.500000
gauche:
0.000000
droite:
1.000000
bas:
-0.500000
Potentiel total:
U_l=0.009197
Aimant à z==-1.000000, r==1.176000
haut:
0.500000
gauche:
0.500000
droite:
1.000000
bas:
-0.500000
Potentiel total:
U_l=0.002286
Aimant à z==0.000000, r==0.750000
haut:
0.500000
gauche:
0.500000
droite:
1.000000
bas:
-0.500000
Potentiel total:
U_l=0.004167
Si le bras horizontal en bas de la boucle est enlevé, un
potentiel:
U_l=-3.242498
est obtenu, montrant la grandeur du champ induit (l'erreur de
l'intégration
numérique est donc environ
